634. Муравьева В.С., Орлов А.И. Непараметрическое прогнозирование момента встречи. - Стратегическое планирование и развитие предприятий. Секция 2 / Материалы Восьмого всероссийского симпозиума. Москва, 10-11 апреля 2007г. Под ред. чл.-корр. РАН Г.Б. Клейнера. – М.: ЦЭМИ РАН, 2007. – С.147–149.

Непараметрическое прогнозирование момента встречи

В.С. Муравьева, А.И.Орлов

(Лаборатория экономико-математических методов в контроллинге МГТУ им. Н.Э.Баумана)

	В непараметрической вероятностно-статистической модели (т.е. без предположения о нормальности распределения погрешностей) получено асимптотическое распределение точки пересечения двух регрессионных линейных зависимостей. На основе метода линеаризации найдены асимптотические дисперсия и доверительный интервал для точки встречи.
	Постановка задачи. Пусть зависимость от времени t некоторого показателя x1(t) технического уровня или качества продукции предприятия «Альфа» описывается линейной функцией x1(t) = a1t + d1. Пусть аналогичный показатель у его конкурента (ОАО «Бета») также описывается линейной функцией, но с другими коэффициентами: x2(t) = a2t + d2.
	Предположим, что предприятие «Альфа» находится в положении догоняющей стороны. Это значит, что в рассматриваемый момент времени t0 (например, «сегодня») значение показателя у его продукции ниже: x1(t0) < x2(t0), но темп роста у предприятия «Альфа»  выше, чем у конкурента: a1 > a2. Возникает естественный вопрос – когда предприятие «Альфа» догонит конкурента? Другими словами, в какой момент времени будет выполнено равенство x1(t) = x2(t)? Решая относительно t уравнение a1t + d1 = a2t + d2, получаем, что встреча произойдет в момент
. 
	Представляют интерес еще две величины. Во-первых, уровень качества, при котором предприятие «Альфа» сравняется с конкурентом, т.е. общий уровень качества в момент встречи. Во вторых, временной лаг, т.е. величина отставания предприятия «Альфа» в рассматриваемый момент времени t0. В какой (более ранний) момент времени tk конкурент имел тот уровень качества, которого предприятие «Альфа» достигло сейчас? 
	В реальных ситуациях линейные зависимости неизвестны. Однако известны исходные данные , для предприятие «Альфа» и (tj2; xj2), j=1,2,…,n(2), для предприятия-конкурента. При этом значения показателя x1(ti1) = xi1 у предприятие «Альфа» в моменты времени ti1 представляются в виде  
x1(ti1) = xi1 = a1ti1 + d1+ ei1, i = 1, 2, …, n(1),
где коэффициенты a1 и d1 неизвестны статистику, а ei1 – погрешности измерения (невязки). Будем считать, что ei1, i = 1, 2, …, n(1), - совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией неизвестной статистику.
	Для предприятия-конкурента справедливо аналогичное представление
x2(tj2) = xj2 = a2tj2 + d2+ ej2, j = 1, 2, …, n(2),
где коэффициенты a2 и d2 неизвестны статистику, а ej2 – погрешности измерения (невязки). Примем, что ej2, j = 1, 2, …, n(2), - совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией неизвестной статистику. 
	Примем также, что две совокупности случайных величин ei1, i = 1, 2, …, n(1), и ej2, j = 1, 2, …, n(2), независимы между собой. В каждой совокупности случайные величины одинаково распределены, но функции распределения, соответствующие разным совокупностям (т.е. предприятию «Альфа» и предприятию-конкуренту), могут различаться между собой. 
	Подчеркнем, что в рассматриваемой вероятностно-статистической модели не предполагается, что эти функции распределения входят в какое-либо параметрическое семейство распределений (в частности, не предполагаем, что невязки имеют нормальное распределение). Это и значит, что рассматривается непараметрическая постановка. Однако считаем, что объемы данных n(1) и n(2) достаточно велики, так что можно применять центральную предельную теорему и приближать совместное распределение оценок метода наименьших квадратов с помощью многомерного нормального распределения. Итак, решение задачи о точке встречи получим в рамках непараметрической вероятностно-статистической модели. 
	Метод решения. Точечная оценка момента встречи , выражается через оценки коэффициентов линейных зависимостей, полученные методом наименьших квадратов, так:
.
Поскольку все входящие в полученные формулы моменты времени предполагаются заданными (детерминированными), то интересующая нас оценка задается гладкой функцией от четырехмерного вектора  оценок метода наименьших квадратов коэффициентов в линейных зависимостях. Согласно методу линеаризации 

с точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка. Следовательно, функция  от вектора оценок МНК является асимптотически нормальной случайной величиной с математическим ожиданием , совпадающим с теоретическим значением, и дисперсией 

	Асимптотическое решение. Частные производные будем брать в точке . С помощью несложных преобразований получаем, что
                       
Для практического применения полученных результатов остается заменить неизвестные дисперсии невязок  и  на их состоятельные оценки. При больших объемах данных n(1) и n(2) используют оценки дисперсий невязок
,  
где SS(1) и SS(2) – соответствующие остаточные суммы квадратов.
	На основе полученных результатов легко указать методы доверительного оценивания и проверки гипотез для момента встречи tB. Так, асимптотический доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности p, имеет вид
                          .                     
Здесь  - только что описанная оценка дисперсии случайной величины tB (с использованием той или иной оценки дисперсий невязок), U(p) - квантиль стандартного нормального распределения порядка (1+р)/2. 
	Разработанные методы могут быть использованы при решении различных практических задач, связанных с интервальной оценкой точки пересечения двух регрессионных прямых.